Dynamique
 


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Sommaire sciences

Auteur :Thibaut BERNARD

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Mise à jour : mercredi 23 février 2005.

 

Sommaire
 

Notation

Cinématique

Dynamique

Force centripète

Moment et couple de forces

Énergie cinétique

Récapitulation

 

Notation utilisée dans cette page
 

v, vitesse
d, distance
r, rayon d'un cercle
t, temps
f, force
m, masse
g, accélération
w, vitesse angulaire exprimée en radian par seconde

 

Cinématique
 

Définition

La cinématique est l'étude des mouvements sans se soucier des causes qui les produisent.


Équations de base

Vitesse :

v = d / t

Accélération :

v = g t


Distance parcourue par un corps en accélération

Pour déterminer la distance parcourue par un corps en mouvement avec une accélération constante sur une trajectoire rectiligne et uniforme, on va avoir besoin des progressions arithmétiques :

Prenons le cas où U1 = 0 pour étudier la somme des n premiers termes (avec la raison r) :

S = ((n - 1) r) n / 2
S = r n (n - 1) / 2

Étudions le schéma donnant la vitesse à un instant t en fonction de son accélération :

Pour l'exemple, nous avons pris une accélération de 2 m.s-2.

Mais nous aurions put prendre n'importe quelle autre valeur.

Ce qui compte est que nous constations que notre équation v = g t est une équation du type y = a x.

À la première seconde, la vitesse est v = 1 * g, à la deuxième seconde v = 2 * g, à la troisième v = 3 * g, etc.

Comme d = v t , on pourrait se dire qu'à l'instant t1 on a parcouru une distance 1 * g * 1, à t2 d = 2 * g * 1, à t2 d = 3 * g * 1, etc. Puis faire les opérations suivantes :

gt + 2gt + 3gt + ... + tgt
gt (1 + 2 + 3 + ... + t)

Puis à l'aide de la somme des n premiers termes (progression arithmétique), déterminer la distance.

Notre intuition est bonne mais le piège auquel on n'a pas pensé est que de l'instant t1 à l'instant suivant t2, la vitesse ne passe pas directement de g t1 à g t2 mais augmente progressivement. On ne passe pas directement à la vitesse v2 dès les premiers millième de seconde. En réalité à chaque instant t, il faut prendre la vitesse moyenne :

vmoy = g (t + t - 1) / 2
vmoy = g (2 t - 1) / 2

La distance moyenne à chaque instant t est donc :

dmoy = vmoy t
dmoy = g t (2 t - 1) / 2

La somme d'une progression arithmétique étant S = r n (n - 1) / 2, avec la raison r représentant l'accélération g et n la distance moyenne (dmoy) à chaque instant t, la distance totale parcourue par un corps en accélération constante est donc :

(r n (n - 1) / 2 + r n (n + 1) / 2) / 2
(r n ((n - 1) + (n + 1))) / 4
(r n (n - 1 + n + 1)) / 4
(r n 2 n) / 4
(r 2 n2) / 4
(r n2) / 2

d'où

d = g t2 /2

CQFD

 

Dynamique
 

Définition

La dynamique est l'étude des forces qui provoquent le mouvement des corps.


Équation de base

Force nécessaire à appliquer à un corps de masse m pour l'accélérer :

f = m g

La mise en mouvement un corps, ou bien l'augmentation de sa vitesse (ou sa diminution en fonction de la direction de la force), est proportionnelle à la force appliquée et inversement proportionnelle à la masse.

En d'autres termes, plus la masse est grande et plus il est difficile d'accélérer (ou de freiner) le corps.

La force se mesure en Newton (N), la masse en kilogramme (kg) et l'accélération en mètre par seconde carrée (m.s-2).

Par définition, une force de 1 N provoque une accélération de 1 m.s-2 à une masse de 1 kg.


Note

Il faut distinguer le poids de la masse. Le poids est une force qui se mesure en Newton, c'est la masse qui se mesure en kilogramme.

L'accélération sur Terre au niveau de la mer étant de 9,81 m.s-2, et est nommée g.

Si l'on nomme par p le poids, l'équation est donc p = m g.

Le poids d'un homme se mesure en Newton, c'est sa masse qui se mesure en kilogramme.

 

Dynamique d'un corps en mouvement circulaire uniforme
Force centripète

 

Définition

La force centripète est la force dirigée vers le centre du corps en mouvement circulaire.


Équation de base

Pour les explications on constate qu'au bord du corps la vitesse angulaire est v = w r et au centre la vitesse est nulle. La différence de vitesse entre ce bord et le centre représente donc une accélération. En fonction de la masse du corps en mouvement (représentée par un point bleu sur notre schéma) et de cette accélération, nous en déduisons la force centripète.

Comme v = g t, alors

v = g t
g = v / t
g = v r / t r

Comme v = r / t, alors

g = v v / r
g = v2 / r

Comme v = w r, alors

g = w2 r2 / r
g = w2 r

L'équation est donc (en fonction de la vitesse angulaire et du rayon) :

f = m w2 r

 

Dynamique d'un corps en mouvement circulaire uniforme
Moment et couple de forces

 

Définition

Étude des forces perpendiculaires à la force centripète et à l'axe de rotation du corps en rotation.

Schéma 1

En fonction de la direction des forces, le corps est en rotation dans le sens des aiguilles d'une montre (ou bien dans le sens contraire).
Si l'intensité des deux forces est égale la vitesse de rotation est constante. Sinon le corps tourne de plus en plus vite, la rotation s'accélère.

Schéma 2

Les deux forces sont de directions opposées.

Si l'intensité des deux forces est égale le corps reste immobile, les deux forces s'annulent. Sinon le corps tourne dans le sens de la force la plus grande ; On revient dans ce cas à notre premier schéma.

Ce cas est équivalent à une balançoire.


Relation entre les forces

On appel le moment d'une force le produit de l'intensité de la force par la distance du point d'impact au centre de la rotation. Cette distance correspond tout simplement au rayon du cercle.


Équation de base

On pourrait nommer le moment par m. Mais pour qu'il n'y ait pas de confusion avec le m indiquant la masse dans ce chapitre, on nommera donc le moment par la lettre n. L'équation est donc (avec r désignant le rayon) :

n = f r

Le moment d'une force s'exprime en Newton mètre (N.m).


Couple de force

Le couple de force est la résultante des forces appliquées des deux côtés de l'axe de rotation.

Pour qu'une balançoire (voir le deuxième schéma) soit en équilibre, il faut que la répartition des forces soit donc égale des deux côtés de l'axe de rotation.

f r = f' d

Exemple numérique. Si d'un coté nous avons une force de 1 Newton exerçant à 2 mètres de l'axe de rotation, de l'autre côté de l'axe si le point d'appui de l'autre force est à 4 mètres, sa force sera donc de :

1 N * 2 m = f' * 4 m
f' = 1 * 2 / 4 = 1 / 2
f' = 0,5 N

À 4 mètres il faudra donc exercer une force de 0,5 Newton pour équilibrer la balançoire.


Les leviers

Dans ces moments et couples de forces, nous retrouvons le principe du levier.

Aussi incroyable que cela paraisse, nous somme capable de soulever une masse d'une tonne (1 000 kg).

Dans notre exemple, nous avons le couple de force f d = f' l.

Comme f = m g et f' = m' g, avec notre constante d'accélération g = 9,81 m.s-2, donc m g d = m' g l.

Avec m = 1 000 kg et disons m' = 80 kg (le poids d'un homme costaud), nous avons donc :

m g d = m' g l
m d = m' l
1 000 d = 80 l
l = 1 000 d / 80
l = 12,5 d

Dans notre exemple si d = 1 m donc l = 12 m 50, la barre grise resterait à l'horizontale puisque le couple de force s'équilibre.

Pour d = 1 m, l devra donc être supérieur à 12 m 50 pour que le simple poids d'un homme suffise à soulever une voiture (d'une tonne dans notre exemple).

 

Énergie cinétique
 

Définition

Un corps contient de l'énergie s'il est susceptible de fournir du travail.

L'énergie cinétique est le travail qu'une force doit fournir pour déplacer un corps d'une certaine distance.


Équation de base

L'énergie est proportionnelle à la force appliquée sur une distance. L'équation est :

e = f l.

Comme f = m g, alors

e = m g l

Comme l = g t2 / 2, alors

e = m gg t2 / 2
e = m g2 t2 / 2

Comme v = g t, alors

e = m v2 / 2

 

Récapitulation
 

Cinématique

Vitesse :

v = d / t

Accélération :

v = g t

Distance parcourue par un corps en accélération :

d = g t2 / 2


Dynamique

Force nécessaire à appliquer à un corps de masse m pour l'accélérer :

f = m g

Force centripète :

f = m w2 r


Dynamique d'un corps en rotation

Moment d'une force :

n = f r

Couple de forces pour obtenir un corps en équilibre sur l'axe de rotation :

f r = f' d


L'énergie cinétique

Énergie d'un corps en accélération pour une distance donnée :

e = m v2 / 2