Trigonométrie
 


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Sommaire mathématiques

Auteur : Thibaut BERNARD

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Mise à jour : dimanche 4 mai 2003.

Version anglaise.

 

 

Partie I, notions de base

Rappel du théorème de Pythagore
Les unités de mesures des angles
Schéma
Équations de base
Déduction des équations de base
Particularité de certain angles
Récapitulatif

Partie II, additions et soustractions d'angles

Détermination du schéma
Définitions de base
Additions des côtés
Fonctions
Déductions des fonctions à partir du schéma
Récapitulatif

 

Partie I, notions de base

 

Rappel du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
Voir la démonstration.


Les unités de mesures des angles

Inutile de rappeler la célèbre valeur de pi (3,1415926535...) arrondie à 3,1416.

Les angles s'expriment de trois manières différentes :

Degré
Radian
Grade

Dans un tour complet de cercle, il y a

360 degrés
2 pi radian
400 grades

La mesure se fait à partir du coté droit et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

De par cette définition, le point le plus en haut est donc égale à 90° ou 100 grades ou pi/2 radian.

Remarque : Les langages de programmation (Basic, Pascal, C...), quelque soit leur version, expriment les angles uniquement en radian. Il faut donc d'abord convertir l'angle en radian avant d'en demander le sinus, le cosinus ou la tangente. Idem quand à partir de la valeur d'un sinus ou d'une tangente on en demande l'angle (fonctions arcsinus et arctangente). Dans ce dernier cas l'angle renvoyé est systématiquement en radian, il faut en faire une conversion si l'on veut cet angle en degré ou en radian.

 

Formules de conversion des angles

Angle en radian = pi * (angle en degré) / 180
Angle en radian = pi * (angle en grade) / 200

Angle en grade = 200 * (angle en degré) / 180
Angle en grade = 200 * (angle en radian) / pi

Angle en degré = 180 * (angle en radian) / pi
Angle en degré = 180 * (angle en grade) / 200

 

Dans ce chapitre nous nous exprimerons uniquement en degré.


Schéma

Triangle rectangle inclut dans le cercle :

Dans un cercle d'équation R2 = X2 + Y2 :

R2 = X2 + Y2
R est le rayon équivalent à l'hypoténuse du triangle rectangle,
X la base du triangle,
Y le coté opposé du triangle.

Avec a représentant l'angle alpha.


Équations de base

Définition

sin a = Y / R (le sinus est égal à la division du coté opposé par l'hypoténuse).
cos a = X / R (le cosinus est égal à la division de la base par l'hypoténuse).
tg a = Y / X (la tangente est égale à la division du coté opposé par la base).
cotg a = X / Y = 1 / tg a (la cotangente est l'inverse de la tangente, donc égale à la division de la base par le coté opposé).

Déduction

tg a = sin a / cos a
sin2a + cos2a = 1 (application du théorème de Pythagore)

 


Déduction des équations de base

Étant donné que

et

alors

d'où


Particularité de certains angles

Dans les exemples qui suivent, on prendra comme rayon l'unité (r = 1).

Triangle rectangle de coté opposé égale à la base (triangle pris dans un carré)

Prenons la diagonale d'un carré inclus dans un cercle. Cette diagonale représente l'hypoténuse du carré (ou le rayon du cercle). Dans un carré, les côtés étant égaux et l'angle a égale à 45°, on peut poser r = 2n2. Avec un rayon à 1, cela donne :

n =

d'où

cos 45° =

sin 45° =

La tangente étant le côté opposé sur la base, les deux côtés étant égaux, d'où : tg 45° = 1. L'inverse (la cotangente) est par définition aussi égale à 1.

 

Triangle équilatéral

Les angles sont donc tous égaux à 60°. Avec un triangle rectangle appliqué dans ce triangle équilatéral, on peut avoir une base égale à la moitié du côté opposé.

Le triangle équilatéral appliqué à un cercle ayant comme rayon l'unité, on a un cosinus égale à 1/2.

Pour a = 60° et avec x2 + y2 = 1 (Pythagore)

cos2 60° + sin2 60° = 1

sin2 60° = 1 - cos2 60°

avec cos 60° = 1/2, cela donne

sin2 60° = 1 - (1/2)2 = 1 - 1/4

sin2 60° = (4 - 1)/4

sin2 60° = 3/4

d'où

avec tg 60° = sin 60° / cos 60°, cela donne

d'où

De la même manière, on montre que


Récapitulatif

Par définition la tangente de 90° est logiquement 1/0. Mais comme la division par zéro est impossible, il n'y a donc pas de tg 90°. Tg 90° serait égale à l'infini.

Idem pour cotg 0°.

Tableau récapitulatif :

 

Partie II, additions et soustractions d'angles

 

Prenons deux angles (a et b) différents dont :


Détermination du schéma

Prenons un quart de cercle avec un angle a :

(schéma de base)

Auquel nous allons y adjoindre un triangle rectangle dont l'angle en O est b :

 

Ce qui donne le schéma résultant :

Dans le triangle HOD, nous nous retrouvons donc avec un angle égal à :
a + b.

Remarque : Avant de passer à la suite, il faut noter dans ce schéma les points suivants :
droite DK = sinus b
droite OK = cosinus b
droite CE = sinus a
droite OE = cosinus a
droite DH = sinus (a+b)
droite OH = cosinus (a+b)

 

Notation

HOD angle en O.

Détermination des angles

Angle MDK

OKD = 90°, KOD = b
ODK = 90° - b
ODM = 90° - (a + b)
MDK = ODK - ODM
MDK = 90° - b - (90° - (a + b))
MDK = 90° - b - (90° - a - b)
MDK = 90° - b - 90° + a + b

Donc MDK = a

Angle M'KD'

POK = a
OKM' = OKP = 90° - a
OKD' = 90°
M'KD' = OKD' - OKM'
M'KD' = 90° - (90° - a)

Donc M'KD' = a

Sur le même principe que sur le schéma précédent, l'on retourne le triangle rectangle de base qu'on insère dans le quart de cercle. Dans le triangle H'OD', l'angle en O est donc égal à a - b.

Constatations :
droite CE = sinus a
droite OE = cosinus a
droite D'H' = sinus (a-b)
droite OH' = cosinus (a-b)

Dans la détermination des angles, avant de passer à la suite il faut avoir compris le fait que dans le triangle rectangle MDK, l'angle en D est égal à a ; Donc le même que dans le schéma de base (dans le triangle EOC).


Définitions de base

Les angles :

AOC = a, COD = COD' = b
AOD = a+b, AOD' = a-b
OKD = OKD' = 90°
OHD = OPK = OEC = OH'D' = 90°
KMD = KM'D' = 90°
MDK = M'KD' = a

Rayon :

OD = OA = OC = OD' = 1

Connaissant les points suivants :

Droites DK et KD' = sinus de b
Droite OK = cosinus de b
Droite EC = sinus de a
Droite OE = cosinus de a
Droite HD = sinus de a + b
Droite OH = cosinus de a + b

Nous allons donc pouvoir en faire les déductions suivantes.

 

Additions des côtés

DH = HM + MD, MH = KP

d'où DH = MD + KP


Fonctions


Exercice

Appliquer le théorème de Pythagore sur les triangles rectangle aussi bien avec les côtés qu'avec les fonctions trigonométriques.


Déduction des fonctions à partir du schéma


Récapitulatif