Pythagore (biographie)
Démonstration du théorème
 


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Sommaire mathématiques

Auteur : Thibaut BERNARD

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Mise à jour : Vendredi 7 juillet 2006.

 

Version anglaise de la démonstration

 

 

Construction de la figure géométrique qui va servir à la démonstration

Prenons un rectangle de largeur a et de hauteur b. Ce rectangle que nous faisons pivoter de 90o de la façon suivante :

Pour chacun des rectangles, divisons les en deux de la façon suivante :

 

   

Faisons pivoter de 90o les triangles rectangles jaune et violet de la façon suivante :

 

 

Nous nous retrouvons donc avec quatre triangles rectangles.

 

   

Nous constatons que l'on se retrouve avec un carré à l'intérieur d'un autre.

 

 

Démonstration

Notation

Reprenons notre dernier schéma pour désigner chacun des cotés par les lettres suivantes :

On a quatre triangles rectangles dont :
le coté opposé par a,
la base est désignée par b,
et l'hypoténuse par n.

Chaque hypoténuse n représentent donc les cotés du petit carré.

Le coté opposé plus la base (a + b) de chaque triangle rectangle représentent chacun des cotés du grand carré.

Surface des carrés

Petit carré : n2.

Grand carré : (a + b)2.

Surface des triangles rectangles

Si l'on associe deux triangles rectangles, on se retrouve avec un rectangle de surface : a b.

La surface totale des quatre triangles rectangles est donc : 2ab.

Différence de surface

La surface du petit carré est égale à la surface du grand carré moins la surface des quatre triangles rectangles :

n2 = (a + b)2 - 2ab

d'où

n2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab

ce qui donne

n2 = a2 + b2

CQFD

 

Conclusion, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l'angle droit.