Auteur : Thibaut BERNARD
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Pythagore (
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Mise à jour : Vendredi 7 juillet 2006.
Version anglaise de la démonstration
Construction de la figure géométrique qui va servir à la démonstration
Prenons un rectangle de largeur a et de hauteur b. Ce rectangle que nous faisons pivoter de 90o de la façon suivante :
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Pour chacun des rectangles, divisons les en deux de la façon suivante : |
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Faisons pivoter de 90o les triangles rectangles jaune et violet de la façon suivante : |
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Nous nous retrouvons donc avec quatre triangles rectangles. |
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Nous constatons que l'on se retrouve avec un carré à l'intérieur d'un autre. |
Démonstration
Notation
Reprenons notre dernier schéma pour désigner chacun des cotés par les lettres suivantes :
On a quatre triangles rectangles dont :
le coté opposé par a,
la base est désignée par b,
et l'hypoténuse par n.
Chaque hypoténuse n représentent donc les cotés du petit carré.
Le coté opposé plus la base (a + b) de chaque triangle rectangle représentent chacun des cotés du grand carré.
Surface des carrés
Petit carré : n2.
Grand carré : (a + b)2.
Surface des triangles rectangles
Si l'on associe deux triangles rectangles, on se retrouve avec un rectangle de surface : a b.
La surface totale des quatre triangles rectangles est donc : 2ab.
Différence de surface
La surface du petit carré est égale à la surface du grand carré moins la surface des quatre triangles rectangles :
n2 = (a + b)2 - 2ab
d'où
n2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab
ce qui donne
n2 = a2 + b2
CQFD
Conclusion, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l'angle droit.
