Auteur : Thibaut BERNARD
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Progressions
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Mise à jour : lundi 8 juillet 2002.
Définition
Propriétés
Notation
Calcul d'un terme de rang donné connaissant U1 et r
Somme d'une progression arithmétique
Récapitulatif
Définition
Propriétés
Notation
Calcul d'un terme de rang donné connaissant U1 et r
Somme d'une progression géométrique
Récapitulatif
Définition
Une progression arithmétique est une suite de nombres rangés dans un ordre tel que chacun d'eux s'obtient en ajoutant un nombre constant à celui qui le précède.
Exemples :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14..., on ajoute 1 pour obtenir le nombre suivant.
8 10 12 14 16 18..., on ajoute 2 pour obtenir le nombre suivant.
25 30 35 40 45 50 55..., on ajoute 5 pour obtenir le nombre suivant.
Propriétés
Les nombres de la suite sont les termes de la progression.
Le nombre constant s'appelle la raison de la progression.
Si la raison est positive les termes vont en augmentant : la progression est dite croissante.
Si la raison est inférieure à zéro les termes vont en diminuant : la progression est dite décroissante.
Une progression peut avoir une infinité de termes.
Chaque terme a un rang dans la suite.
La moyenne arithmétique de deux nombres forment une progression arithmétique.
Notation
Nous désignons par :
|
U1 |
le premier terme de la progression, |
|
r |
la raison, |
|
Un |
le dernier terme de la progression, |
|
n |
le nombre de termes de la progression (c'est aussi le rang du dernier terme). |
Calcul d'un terme de rang donné connaissant U1 et r
Considérons par exemple une progression de n termes et exprimons la valeur du dernier terme en fonction de U1 :
U2 = U1 + r
U3 = U1 + 2 r
U4 = U1 + 3 r
...
Un = U1 + (n-1) r
On constate que pour passer du premier au nième terme il faut ajouter la raison autant de fois qu'il y a d'intervalles.
Donc si le terme cherché occupe le nième rang, il faut ajouter au premier terme (n-1) fois la raison.
a) Exemple
Calculer le 40e terme de la progression 11 - 17 - 23 ...
Formule à utiliser : Un = U1 + (n-1) r
Avec U1 = 11, n = 40 et r = 6 :
|
U40 |
= 11 + (40-1) 6 |
|
U40 |
= 245 |
b) Quelle est la raison d'une progression arithmétique dont le premier terme est 1,3 et le vingtième 3,2 ?
Un = U1 + (n-1) r
Avec U1 = 1,3, U20 = 3,2 et n = 20 :
3,2 = 1,3 + (20 -1) r
3,2 - 1,3 = 19 r
r = (3,2 - 1,3) / 19 = 0,1
d'où r =0,1
c) Le dernier terme d'une progression de 200 termes à pour valeur 117 sachant que la raison vaut 5 , calculer le premier terme de cette progression.
Un = U1 + (n-1) r
Avec U200 = 117, n = 200 et r = 5 :
117 = U1 + (200 -1) ´ 5 = U1 + 199 ´ 5
117 = U1 + 995
U1 = 117 - 995 = -878
U1 = - 878
d) Sachant que le premier terme d'une progression arithmétique est 1, le dernier est 1796, la raison est 5, calculer le nombre de termes.
Un = U1 + (n-1) r
Avec Un = 1796, U1 = 1 et r = 5 :
1796 = 1 + (n - 1) ´ 5
1795 = (n - 1) ´ 5
n - 1 = 1795 / 5 = 359
d'où n = 360
Somme d'une progression arithmétique
Nous constatons que dans une progression arithmétique limitée, la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme de ses extrêmes.
Pour calculer la somme S de n termes, écrivons cette somme en regroupant le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant dernier, etc...
a) Exemple
Prenons la suite : 2, 4, 6, 8, 10 et 12.
Somme des termes extrêmes :
2 + 12 = 14
4 + 10 = 14
6 + 8 = 14
Somme totale : 3 ´ 14 = 42.
On constate que la somme des termes peut s'obtenir en additionnant le premier et le dernier terme, en multipliant ce résultat par le nombre de terme et en divisant le tout par 2.
Ce qui donne la formule suivante : S = (U1+Un) ´ n / 2
Récapitulatif
Calcul du nième terme : Un = U1 + (n-1) r
Somme : S = (U1+Un) ´ n / 2
Définition
Une progression géométrique est une suite de nombres rangés dans un ordre tel que chacun d'eux s'obtient en multipliant un nombre constant à celui qui le précède.
Exemples :
2 4 8 16 32 64 ..., le nombre suivant s'obtient en multipliant par 2 le nombre en cours.
3 15 75 375 1875 9375 46875..., le nombre suivant s'obtient en multipliant par 5 le nombre en cours.
Pour calculer le nième terme, on multiplie le premier terme par n - 1 fois la constante.
Dans notre second exemple :
Il faut multiplier 3 (notre premier terme de la progression) par 5 6 fois de suite pour calculer le 7ème terme (46875 dans notre exemple).
46875 = 3 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 3 ´ 56
Il faut multiplier 3 par 5 3 fois de suite pour calculer le 4ème terme (375 dans notre exemple).
375 = 3 ´ 5 ´ 5 ´ 5= 3 ´ 53
Le nième terme d'une progression géométrique s'écrit donc : Un = U1´ R(n - 1)
Propriétés
Les nombres de la suite sont les termes de la progression.
Le nombre constant s'appelle la raison de la progression.
Si la raison est supérieur à un, les termes vont en augmentant : la progression est dite croissante.
Si la raison est supérieur à zéro et inférieure à un, les termes vont en diminuant : la progression est dite décroissante.
Une progression peut avoir une infinité de termes.
Chaque terme a un rang dans la suite.
Notation
Comme pour les progressions arithmétique, nous désignons par :
U1 |
le premier terme de la progression, |
R |
la raison, |
Un |
le dernier terme de la progression, |
n |
le nombre de termes de la progression (c'est aussi le rang du dernier terme) |
Calcul d'un terme de rang donné connaissant U1 et r
Considérons par exemple une progression de n termes et exprimons la valeur du dernier terme en fonction de U1 :
U2 = U1´ r
U3 = U1´ r2
U4 = U1´ r3
...
Un = U1´ r(n-1)
On constate que pour passer du premier au nième terme il faut multiplier la raison autant de fois qu'il y a d'intervalles.
Donc si le terme cherché occupe le nième rang, il faut multiplier au premier terme (n-1) fois la raison.
a) Exemple
Calculer le dixième terme de la progression 2 - 4 - 8 - 16 ...
avec U1 = 2, n = 10 et r = 2.
U10 = 2 ´ 2(10-1)
= 2 ´ 29
= 2 ´ 512 = 1024
U10 = 1024
Somme d'une progression géométrique
S = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un
S = U1 + U1´ r + U1´ r2 + U1´ r3 + ... + U1´ r(n-1)
S = U1´ (1 + r + r2 + r3 + ... + r(n-1))
S ´ (r - 1) = U1´ (1 + r + r2 + r3 + ... + r(n-1)) ´ (r - 1)
S ´ (r - 1) = U1´ (r + r2 + r3 + r4 + ... + rn - 1 - r - r2 - r3 - ... - r(n-1))
S ´ (r - 1) = U1´ (rn - 1)
d'où : S = U1´ (rn - 1) / (r - 1)
Récapitulatif
Calcul du nième terme : Un = U1´ r(n-1)
Somme : S = U1´ (rn - 1) / (r - 1)
Progressions arithmétique
Calcul du nième terme : Un = U1 + (n-1) r
Somme : S = (U1+Un) ´ n / 2
Progressions géométrique
Calcul du nième terme : Un = U1´ r(n-1)
Somme : S = U1´ (rn - 1) / (r - 1)