Démonstration de la formule de résolution
des équations du second degré

ax2 + bx + c = 0

 


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Sommaire mathématiques

Auteur : Thibaut BERNARD

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Mise à jour : dimanche 1er juillet 2001.

 

Démonstration

Commentaire

Démonstration 

 

1er développement

Tout nombre multiplié par zéro (n * 0 = 0). Notre équation "ax2 + bx + c" étant égal à 0, on peut donc la multiplier par 4a par exemple :

4a * (ax2 + bx + c) = 0

4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0

Des deux cotés de l'équation, ajoutons b2 :

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

Dans la partie de gauche, nous reconnaissons une identité remarquable du type :

(i + j)2 = i2 + 2ij + j2

où i = 2ax et j = b

Ce qui donne : (2ax + b)2 = b2 - 4ac

(Notez cette équation pour le deuxième développement (*).)

d'où :

 

2ème développement

(*) Reprenons l'équation citée dans le premier développement :

(2ax + b)2 = b2 - 4ac

D'où : -(2ax +b) =

Tout nombre, quelque soit son signe, élevé au carré donne un nombre positif. Donc (-(2ax + b))2 équivaut à (2ax + b)2.

Reprenons notre simplification :

 

Récapitulatif

 

Commentaires

 

Cas où a = 0

a x2 + b x + c = 0

0 x2 + b x + c = 0

Tout nombre multiplié par zéro est égale à zéro. On se retrouve donc avec une équation du type b x + c = 0.

D'où x = - c/b

 

Cas où b2 = 4ac

Du coup le discriminant (b2 - 4ac) devient égale à 0.

Donc notre équation devient x = -b +- racine(0)/2a. L'équation ax2 + bx + c = 0 se retrouve donc qu'avec une solution : x = -b / 2a.

 

Cas où b2 < 4ac

La résolution est impossible puisque cela équivaut à avoir une racine carré d'un nombre négatif.

 

Cas où a est différent de zéro et b2 est supérieur à 4ac

C'est dans ce cas que l'équation a effectivement deux solutions.

Exemple numérique : a = 5, b = 14, c = 3. 5x2 + 14x + 3 = 0.

D'où

x = (-14 + racine(142 - 4 * 5 * 3)) / 2 * 5
x = (-14 + racine(196 - 60)) / 10
x = (-14 + racine(136)) / 10
x = (-14 + 11,6619) / 10
x = -0,23381

x' = (-14 - racine(142 - 4 * 5 * 3)) / 2 * 5
x' = (-14 - racine(196 - 60)) / 10
x' = (-14 - racine(136)) / 10
x' = (-14 - 11,6619) / 10
x' = -2,56619

Remarque : En réalité la racine carré de 136 comporte beaucoup plus de décimales. Cela a été arrondi à 11,6619 pour l'exemple.