Démonstration de la formule de résolution
des équations du second degré
ax² + bx + c = 0
 

Mise à jour : dimanche 1^er juillet 2001.

Démonstration

Commentaire

Démonstration 

1^er développement

Tout nombre multiplié par zéro (n * 0 = 0). Notre équation "ax² + bx + c" étant égal à 0, on peut donc la multiplier par 4a par exemple :

Des deux cotés de l'équation, ajoutons b² :

Dans la partie de gauche, nous reconnaissons une identité remarquable du type :

Ce qui donne : (2ax + b)² = b² - 4ac

d'où :

2^ème développement

(*) Reprenons l'équation citée dans le premier développement :

D'où : -(2ax +b) =

Reprenons notre simplification :

Récapitulatif

Commentaires

Cas où a = 0

a x² + b x + c = 0

0 x² + b x + c = 0

Tout nombre multiplié par zéro est égale à zéro. On se retrouve donc avec une équation du type b x + c = 0.

D'où x = - c/b

Cas où b² = 4ac

Du coup le discriminant (b² - 4ac) devient égale à 0.

Donc notre équation devient x = -b +- racine(0)/2a. L'équation ax² + bx + c = 0 se retrouve donc qu'avec une solution : x = -b / 2a.

Cas où b² < 4ac

La résolution est impossible puisque cela équivaut à avoir une racine carré d'un nombre négatif.

Cas où a est différent de zéro et b² est supérieur à 4ac

C'est dans ce cas que l'équation a effectivement deux solutions.

Exemple numérique : a = 5, b = 14, c = 3. 5x² + 14x + 3 = 0.

D'où

Remarque : En réalité la racine carré de 136 comporte beaucoup plus de décimales. Cela a été arrondi à 11,6619 pour l'exemple.