Algèbre booléenne
 


accueil

Sommaire mathématiques

Auteur : Thibaut BERNARD

Vous êtes le visiteur no

Mise à jour : mercredi 8 janvier 2003.

 

 

 

Codage de l'information

Conversion de numérotation

Conversion de la numérotation binaire au système décimal
Conversion du décimal en binaire

Longueur

Fonctions booléennes de base (ET, OU et NON)

Symboles utilisés dans ce document
Fonction ET, circuit en série
Fonction OU, cas de deux interrupteurs en parallèle
Fonction NON, cas du relais thermique

Tableau récapitulatif des trois fonctions de base (ET, OU et NON)

Simplification d'équations

Les tableaux de karnaugh

 

 

Codage de l'information

L'ordinateur ne peut pas tout comprendre. Il faut transcrire (coder) les informations dans un langage compréhensif par l'ordinateur. De par sa conception électronique et électrique, le codage binaire a été choisi. Le courant passe dans un fil, on dit qu'il est à l'état 1, il ne passe pas, il est à l'état 0. Ce qui correspond à la numérotation à base 2, dite binaire.

On appelle bit l'unité élémentaire des deux chiffres 0 et 1.

 


Conversion de numérotation

Conversion de la numérotation binaire au système décimal

1) On multiplie chacun des bits par la puissance de deux correspondante. Pour la puissance de deux, on commence par la droite à partir de 0.

2) Puis on additionne les résultats.

Exemple, 101110 à convertir :

nombre

1

 

0

 

1

 

1

 

1

 

0

 

puissance de 2

25

 

24

 

23

 

22

 

21

 

20

 

à convertir

= 32

 

= 16

 

= 8

 

= 4

 

= 2

 

= 1

 

multiplication des bits par les puissances de 2 correspondantes

1×32

 

0×16

 

1×8

 

1×4

 

1×2

 

0×1

 

additions des résultats

32

+

0

+

8

+

4

+

2

+

0

= 46

 

Conversion du décimal en binaire

On divise successivement la valeur par 2, le reste de chaque division donne les bits.

Exemple, 93 à convertir en binaire :

93/2

=

46

 

reste

1

46/2

=

23

 

reste

0

23/2

=

11

 

reste

1

11/2

=

5

 

reste

1

5/2

=

2

 

reste

1

2/2

=

1

 

reste

0

1/2

=

0

 

reste

1

On lit ensuite les restes de bas en haut pour trouver la séquence binaire équivalente au nombre décimal.

Dans notre exemple, 93 en binaire donne 1011101.

 


Longueur

Avec un minimum de chiffres (bits), on doit pouvoir avoir un maximum d'informations.

Un groupe de x bits est appelé un mot.

Un quarté est une série de quatre bits.

Un octet est une série de huit bits.

En général, les micro-ordinateurs utilisent des octets.

Certains ordinateurs utilisent des mots de seize ou trente-deux bits (voir plus).

 


Les fonctions booléennes de base ET, OU et NON

On convient que quand le courant passe, on dit qu'il est représenté par le chiffre 1, et quand il ne passe pas c'est le chiffre 0.

En électricité, imaginons deux interrupteurs A et B :
- dans un premier cas ils sont en série,
- dans un deuxième cas en parallèle,
- puis un autre cas ou il y a un relais thermique qui ouvre ou ferme un autre interrupteur selon l'état d'un interrupteur A.

Dans les trois cas, une lampe témoin L sera placée en série avec le circuit d'interrupteurs pour montrer que le courant électrique passe ou ne passe pas.

En algèbre booléenne, il existe trois fonctions de base : ET, OU et NON.

 

Symboles utilisés dans ce document

 interrupteur ouvert, le courant ne passe pas (état 0)

 interrupteur fermé, le courant passe (état 1)

 

Fonction ET, circuit en série

Il faut que les deux interrupteurs soient fermés tout les deux en même temps pour que le courant passe et que la lampe s'allume, si l'un des deux interrupteurs au moins (ou même les deux à la fois) est ouvert, le courant ne passe pas, la lampe reste éteinte.

Circuits en séries :

lampe éteinte

lampe éteinte

lampe éteinte

lampe allumée

Cela signifie que l'interrupteur A ET l'interrupteur B soient égaux à 1 pour que la lampe L soient égale à 1. Le courant électrique doit obligatoirement passer par les deux interrupteurs pour allumer cette lampe L.

On peut représenter ce cas aussi en tableau (qu'on appelle aussi table de vérité) :

A

B

L

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Mathématiquement, on note : L = A . B

ou L = A AND B

 

Fonction OU, cas de deux interrupteurs en parallèle

Il faut que l'un des deux interrupteurs A ou B au moins, soit fermé pour que le courant passe, et que la lampe témoin L s'allume.


Lampe
éteinte


Lampe
allumée


Lampe
allumée


Lampe
allumée

Cela signifie que si l'un des deux interrupteurs au moins (A OU B) est égal à 1, alors la lampe L sera égale à 1. C'est-à-dire que le courant doit passer par au moins un des deux interrupteurs pour allumer la lampe L.

On peut représenter ce cas dans une table de vérité :

A

B

L

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Mathématiquement, on note : L = A + B

ou L = A OR B

 

Fonction NON, cas du relais thermique

Si l'interrupteur A est à l'état ouvert (c'est-à-dire que le courant ne passe pas), à cause du relais, l'interrupteur B sera fermé (le courant passera dans cet interrupteur). Ou vice versa, si le courant passe dans A, le relais thermique ouvrira l'interrupteur B et le courant ne passera pas dans B.

A

B



lampe allumée

lampe éteinte

A

B



lampe allumée

lampe éteinte

Cela signifie que si A est égal à 0, B sera forcément égal à 1, et B = 0 si A = 1. B est le contraire de A. On peut représenter ce cas dans une table de vérité :

A

B

0

1

1

0

Mathématiquement, on note : B =

ou B = NON A

 se lit A barre.

 


Tableau récapitulatif des trois fonctions de base (ET, OU et NON)

A

B

A+B

A.B

+

.

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

D'après cette table, on constate que :
= .
+ =

Du tableau récapitulatif, on peut en déduire les équations remarquables suivantes :

 

équation
initiale

équation
simplifiée

1

A + 0

A

2

A.0

0

3

A + 1

1

4

A.1

A

5

A + A

A

6

A.A

A

7

A +

1

8

A .

0

 


Applications, simplifier les équations suivantes

Équation L

L = A . B + A . B

Mise en facteur : L = A (B + B)

Simplification : L = A . B puisque B + B = B (5)

d'où L = A . B

 

Équation R

R = A + AC + AB + A

Mise en facteur : R = A (1 + C + B + )

Simplification : R = A (1 + 1 + B)

R = A (1) puisque 1 + B = 1 (3)

R = A . 1

d'où R = A

 


Utilisation des tableaux de Karnaugh (méthode graphique)

La méthode graphique est mathématique en ce sens que les simplifications obtenues peuvent toutes être démontrées par l'algèbre binaire de Boole. Des règles simples permettent ensuite d'éviter d'avoir recours à cette algèbre et en conséquence de gagner du temps, but principal de cette méthode.

 

Conventions

Représentons l'état des variables A et B par un rectangle :

 

 

 

A

 

 

 

 

B

B

 

A

 

 

 

 

L'intersection de ces deux rectangles symbolise le produit logique A . B :

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

B

 

AB

Û B

AB

Ainsi le produit logique A.B est figuré par une case rectangulaire, dont les côtés s'identifient avec les termes de ce produit (A et B).

Exemples :

 

A

 

 

AB

 

 

A

B

AB

 

C

ABC

 

BC

ABC

 

L = A.B

 

 

L = (A.B).C

 

 

L = A.(B.C)

En comparant cette représentation avec celle d'Euler-Venn, on constate qu'elles donnent toutes les deux les différents produits logiques des variables A et B :

 

A

.

A.

B

.B

AB